Archimedes' Genius | Proof of the Archimedes Quadrature formula आर्किमिडीज की प्रतिभा | आर्किमिडीज चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण

Archimedes' Genius | Proof of the Archimedes Quadrature formula

आर्किमिडीज की प्रतिभा | आर्किमिडीज चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण

वक्र पर किसी भी दो बिंदुओं को मिलाने से जीवा द्वारा निर्मित एक परवलय के खंड का क्षेत्रफल कितना होता है? यूनानी गणितज्ञ, आर्किमिडीज़ ने, कैलकुलस के ज्ञान के बिना, इस सवाल का एक सुंदर जवाब दिया। उनका जवाब था कि, खंड का क्षेत्रफल एक बिंदु पर दो स्पर्शरेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के दो तिहाई के बराबर है। दो बिंदु A और B होने दें यह वह क्षेत्र है जिसे हम खोजने वाले हैं। और दो स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु P है। परवलय की समरूपता के अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचें। ध्यान दें कि परवलय की समरूपता का अक्ष इसके शीर्ष से होकर गुजरता है। यहां माना जाता है कि मामले में, पीएम और अक्ष को संरेखित किया जाता है। एक पैराबोला की एक दिलचस्प संपत्ति यह है कि पी के माध्यम से गुजरने वाली रेखा समरूपता के अक्ष के समानांतर कॉर्ड एबी को काटती है। अपने आप को यह साबित करने की कोशिश करो, लेकिन सबूत वर्णन में है। Q पर स्पर्शरेखा क्रमशः A और B पर A1 और B1 पर स्पर्शरेखा को स्पर्श करती है। अब, जब हम बिंदु Q और A के बीच के आर्क को देखते हैं, तो यह Parabola का भी एक भाग है, और Q और A के स्पर्शरेखा A1 पर स्थित है। इसलिए जैसा कि हमने पहले देखा था, A1 के बीच से गुजरने वाली परवल की धुरी के समानांतर एक रेखा कॉर्ड AQ को काटती है। अब हम जानते हैं कि पंक्तियाँ PQ और A1L समानांतर हैं, और बिंदु L AQ का मध्य बिंदु है, इसलिए इसका मतलब है कि A1 को लाइन AP का मध्य बिंदु माना जाता है। तर्क की एक समान रेखा के साथ, यह दिखाया जा सकता है कि BB1 B1P के बराबर है। तो A1B1 वास्तव में कॉर्ड एबी के समानांतर है और बीच में आधा रास्ता है। अब, यह दिखाया जा सकता है कि त्रिकोण PBM और PB1Q दो पक्षों के समान हैं और उनके समान कोण हैं। समानता का अर्थ है कि पीक्यू की रेखा पीएम से आधी है, जिसका तात्पर्य यह भी है कि पीक्यू क्यूएम के बराबर है। तो त्रिभुज PB1A1 की ऊंचाई और आधार PBA से आधा है। जिसका अर्थ है कि PBA का क्षेत्र PB1A1 के क्षेत्रफल का चार गुना है। और इसी तरह त्रिभुज QBA की ऊँचाई त्रिभुज PBA से आधी है। इसलिए त्रिभुज PBA का क्षेत्रफल QBA के क्षेत्रफल से दोगुना है। और इन दो समीकरणों से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि त्रिभुज QBA का क्षेत्रफल PB1A1 का क्षेत्रफल दोगुना है। तो अब, हम यह सब कर सकते हैं, बाईं ओर इस चाप पर और उसी परिणाम पर पहुंचें। इसी तरह, दाईं ओर आर्क के लिए। अब हम जानते हैं कि परबोला के अंदर के सभी त्रिकोण बाहर के लोगों की तुलना में दोगुने हैं। तो ... हम जवाब के लिए कहीं पास हो गया है। सीमित मामले में, उन सभी छोटे चापों के लिए एक ही तर्क लागू करने का अर्थ है, हम साबित कर सकते हैं कि परवलयिक खंड शेष क्षेत्र के दो गुना के बराबर है। हम जानते हैं कि आर्किमिडीज त्रिकोण PBA इस परवलयिक खंड का एक योग है और शेष भाग जैसा कि हमने अभी सिद्ध किया है, यह शेष क्षेत्र परवलयिक खंड का आधा है। इस समीकरण को जोड़ने और पुनर्व्यवस्थित करने के लिए हम उत्तर पर पहुंचते हैं, यह है कि परवलयिक खंड का क्षेत्रफल आर्किमिडीज त्रिकोण PBA के दो तिहाई के बराबर है।

Archimedes' Genius | Proof of the Archimedes Quadrature formula

आर्किमिडीज की प्रतिभा | आर्किमिडीज चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण

 What is the area of the section of a parabola, formed by the chord joining any two points on the curve? Archimedes, the Greek mathematician, gave an elegant answer to this question,  without the knowledge of calculus. His answer was that, the area of the segment is equal to two thirds of the area of the triangle formed by the two tangents  intersecting at a point. Let the two points be A and B  This is the area we are supposed to find. And the point of intersection of the two tangents is P. Draw a line parallel to the axis of symmetry of the parabola. Note that the axis of symmetry of the parabola passes through the vertex of it. In the case considered here, the line PM and the axis are aligned. An interesting property of a parabola is that the line passing through P,  parallel to the axis of symmetry bisects the chord AB. Do try to prove this yourselves, but the proof is in the description.  The tangent at Q intersects the tangents at A and B at A1 and B1 respectively. Now, when we look at the arc between points Q and A, it is also a part of the parabola,  and the tangents at Q and A intersect at A1. So as we saw before, a line parallel to the axis the parabola passing through A1 bisects the chord AQ. Now we know that lines PQ and A1L are parallel,  and point L is the midpoint of AQ,  so this means that A1's got to be the midpoint of the line AP. With a similar line of argument, it can be shown that BB1 is equal to B1P. So A1B1 is actually parallel to the chord AB and is half way in-between. Now, it can be shown that the triangles PBM and PB1Q  are similar as two sides are proportional and they have common angle.  Similarity implies that the line PQ is half of PM,  which also implies that PQ is equal to QM. So the height and base of the triangle PB1A1 is half of that of PBA. which means the area of PBA is four times the area of PB1A1. And similarly the height of triangle QBA is half of that of the triangle PBA. Therefore the area of triangle PBA is twice the area of QBA. And from these two equations, it can be concluded that the area of triangle QBA is twice the area of PB1A1. So now, we can do all this, to this arc on the left side and arrive at the same result.  Similarly, to the arc on the right. Now we know that all the triangles inside the parabola  are twice of that of the ones outside. So... We've gotten somewhere nearer to the answer.  At the limiting case, meaning applying the same arguement to all those little arcs,  We can prove that the parabolic segment is equal to two times the remaining area. We know that the Archimedes triangle PBA  is a sum of this parabolic segment and the remaining part As we just proved, this remaining area is half of the parabolic segment.  Adding and rearranging the equation we arrive at the answer,  that is the area of the parabolic segment is equal to  two thirds of the Archimedes triangle PBA.